نظریّهٔ آشوب یا نظریّهٔ بی‌نظمی‌ها به مطالعهٔ سیستم‌های دینامیکی آشوب‌ناک می‌پردازد. سیستم‌های آشوب‌ناک، سیستم‌های دینامیکی‌ای غیرخطی هستند که نسبت به شرایط اولیه‌شان بسیار حساس‌اند. تغییری اندک در شرایط اولیهٔ چنین سیستم‌هایی باعث تغییرات بسیار در آینده خواهد شد. این پدیده در نظریهٔ آشوب به اثر پروانه‌ای مشهور است.

رفتار سیستم‌های آشوب‌ناک به ظاهر تصادفی می‌نماید. با این‌حال هیچ لزومی به وجود عنصر تصادف در ایجاد رفتار آشوبی نیست و سیستم‌های دینامیکی‌ی معین (deterministic) نیز می‌توانند رفتار آشوب‌ناک از خود نشان دهند.

می‌توان نشان داد که شرط لازم وجود رفتار آشوب‌گونه در سیستم‌های دینامیکی‌ی زمان‌پیوسته مستقل از زمان (time invariant) داشتن کمینه سه متغیر حالت است (سیستم مرتبه سه). نمونه‌ای از چنین سیستم‌ای است. برای سیستم‌های زمان‌گسسته، وجود یک متغیر حالت کفایت می‌کند. نمونهٔ مشهور چنین سیستم‌ای، مدل جمعیتی‌ی بیان‌شده توسط logistic map است.

حسابان یا حساب دیفرانسیل و انتگرال یکی از شاخه‌های اصلی ریاضیات است. این رشته از تحول جبر و هندسه ناشی شده‌است. حسابان خود دو شاخه اصلی دارد: حساب فاضله (یا حساب دیفرانسیل) و حساب جامعه (یا حساب انتگرال.) گوتفرید لایبنیتس و ایزاک نیوتون به طور همزمان و مستقل این حساب را کشف و طراحی کردند اما علائمی که امروزه در این حساب استفاده می شود از ابداعات لایبنیتس است.

ترکیبیات شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی ساختارهای متناهی و شمارا می‌پردازد. بخش‌های مختلف ترکیبیات تشکیل شده‌اند از:

• شمارش ساختارهای دارای حالت و یا اندازه‌ای خاص ()
• تصمیم‌گیری این که چه زمانی معیارهای خاصی مانند تعادل و تقارن رعایت می‌شوند، و ساخت و بررسی
• پیدا کردن "بزرگترین" شی، "کوچکترین" شی و یا شی "بهینه". (بهینه سازی ترکیبیاتی و ).
• بررسی ساختارهای ترکیبیاتی به‌وجود آمده در زمینه‌های جبری یا بکارگیری فنون جبری در مسائل ترکیبیاتی ()

شرطی صوری و شرطی مادی (5)
میان استعمال ادات شرط در لغت عادی و استعمال آن در منطق ریاضی تفاوت هست، در لغت و زبان روزمره دو جمله را با اگر ربط نمی‏دهیم، مگر اینکه میان آن دو جمله از نظر صورت و مضمون نوعی ارتباط باشد، یعنی از نظر معنا میان مقدم و تالی باید نوعی ارتباط باشد، مثلا از نظر لغوی نمی‏توانیم بگوییم:«اگر 3 عدد فرد باشد پس تهران شهر بزرگی است».
زیرا بین فردیت 3 و بزرگ بودن تهران هیچ نوع ارتباطی از نظر معنا وجود ندارد و ما غالبا این ترکیب را در صورتی بکار می‏بریم که رابطه‏ای قوی میان مقدم و تالی باشد.

شرطی صوری و شرطی مادی (5)
میان استعمال ادات شرط در لغت عادی و استعمال آن در منطق ریاضی تفاوت هست، در لغت و زبان روزمره دو جمله را با اگر ربط نمی‏دهیم، مگر اینکه میان آن دو جمله از نظر صورت و مضمون نوعی ارتباط باشد، یعنی از نظر معنا میان مقدم و تالی باید نوعی ارتباط باشد، مثلا از نظر لغوی نمی‏توانیم بگوییم:«اگر 3 عدد فرد باشد پس تهران شهر بزرگی است».
زیرا بین فردیت 3 و بزرگ بودن تهران هیچ نوع ارتباطی از نظر معنا وجود ندارد و ما غالبا این ترکیب را در صورتی بکار می‏بریم که رابطه‏ای قوی میان مقدم و تالی باشد.

الفاظ ساختی و الفاظ غیر ساختی
الفاظ لغت را از جهت کاربرد به دو دسته می‏توان تقسیم کرد:
نخست، الفاظی که آنها را برای نامیدن اشیاء بکار می‏بریم، مانند:درخت، چوب، فرانسه، تهران...، این نوع الفاظ«الفاظ غیر ساختی» Non-structural words هستند همه افعال و اسمهای علم و صفات از این دسته‏اند.

گزاره (statement) جمله‌ای است خبری که دقیقاً درست یا نادرست باشد، هر چند که درستی یا نادرستی آن بر ما پوشیده باشد. به این ترتیب جملات امری،پرسشی و عاطفی نمی‌توانند به عنوان یک گزاره تلقی بشوند و بعلاوه همه جملات خبری هم نمی‌توانند گزاره باشند.

به عنوان مثال جمله«37 عددی اول است» یا «2>3» همگی جملات خبری هستند و یک گزاره‌اند ولی جمله‌ خبری «سعدی شاعر خوبی است.» نمی‌تواند یک گزاره تلقی شود چرا که درستی یا نادرستی آن دقیقاً معین نمی‌باشد(بر حسب سلیقه تغییر می‌کند). همچنین جملات عاطفی و امری و پرسشی همچون «چه گل زیبایی!» یا «لطفا درب را باز کنید» و یا «آیا 155 بر پنج بخشپذیر است؟» نمی‌توانند یک گزاره باشند چرا که نمی‌توان بر روی آنها ارزش درستی یا نادرستی قرار داد و اساساً ارزش گذاری آنها بی‌معنی خواهد بود.

در آنالیز مختلط، مانده عدد مختلطی است که رفتار انتگرال منحنی‌الخط یک تابع مرومورفیک را حول نقطه تکین شرح می‌دهد. مانده‌ها به سادگی می‌توانند محاسبه شوند و با استفاده از قضیه مانده مقدار بسیاری از انتگرال‌های پیچیده ا بدست می‌دهند.

در ریاضیات، تابع زتای ریمان (توسط برنارد ریمان نامگذاری شد) تابعی است بسیار مهم و پرکاربرد در نظریه اعداد . زیرا با توزیع اعداد اول رابطه دارد. همچنین کاربردهای دیگری نیز در جاهای دیگر علم دارد مانند: فیزیک، نظریه احتمال و کاربرد استاتیک.

یکی از ریاضیدانان قرن سیزدهم میلادی در اروپا لئونارد بوناکسی( 1170-1220 م. ) ریاضیدان ایتالیایی است. وی که مدتها در مشرق زمین اقامت کرده بود، آثار برخی از دانشمندان اسلامی را از آنجا به ارمغان آورد. وی برای اولین بار در اروپا علم جبر را در هندسه مورد استفاده قرار داد. در قرن پانزدهم و در قرن شانزدهم دانشمندان ایتالیایی ها در حساب عدد ، جبر و مکانیک ترقیات شایان کردند.
در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه دانشمندی به نام فرانسوااویت ( 1540-1603م.) به پیشرفت علوم ریاضی خدمات ارزنده ای نمود.مثلثات جدید نیز حاصل زحمات اوست. او نخستین ریاضیدانی بود که برای حل مسئله ترسیم دایره ای مماس بر سه دایره دیگر راه حل هندسی بدست آورد و ریشه های معادله درجه چهارم را ساخت.

مهندسی الکترونیک (به انگلیسی: Electronic engineering) یکی از شاخه‌های مهندسی است که از دانش علمی رفتار و اثر الکترون‌ها استفاده نموده و به توسعه قطعات، دستگاه‌ها، سیستم‌ها، یا تجهیزاتی می‌پردازد که انرژی الکتریکی یکی از فاکتورهای آنهاست؛ همانند لامپهای خلاء، ترانزیستورها، مدارهای مجتمع و مدارهای چاپی. این واژه به شاخه‌ی وسیعی از مهندسی اشاره دارد که زیرشاخه‌های بسیاری را در بر می‌گیرد. شامل رشته‌هایی که با توان، مهندسی ابزار دقیق، مخابرات، ، و بسیاری دیگر در ارتباطند[۱]. این واژه همچنین بخش بزرگی از دوره‌های تحصیلی مهندسی برق را که در بیشتر دانشگاه‌های اروپایی تدریس می‌شود را شامل می‌شود. اگرچه در آمریکا، مهندسی برق شامل تمام شاخه‌های آن از جمله الکترونیک است. انجمن مهندسان برق و الکترونیک آمریکا یکی از مهم‌ترین و موثرترین سازمانهای این رشته‌های مهندسی به شمار می‌رود.

اغلب شما آلبرت اينشتين را می شناسید. او کسی بود که تئوری نسبیت را به ما ارائه داد. عده زیادی از بزرگان علم او را به عنوان نابغه ای بی همتا و بزرگترین دانشمند جهان می خوانند. بسیاری از نظریات و تحقیقات اينشتين باعث ایجاد تغییرات اساسی در روند پیشرفت علم  در جهان شده و تاثیرات  پایداری به ارمغان داشت. خدمات او در راستای علم قابل ستایش است.

اما بر خلاف همیشه  اینبار قصد داریم از جنبه ای دیگر به اينشتين بنگریم. زندگی او! حقایق مخفی درباره زندگی باهوش ترین نابغه دنیا . او چگونه بود؟ در زندگی و برخورد بادیگران چطور بود؟ آیا می دانید که اينشتين با یک سر بزرگ به دنیا آمده! طوری که مادرش تصور می کرد وی ناقص است؟! و یا اینکه قبل از ازدواج فرزندی داشته؟

مهندسی اپتیک ولیزر: اپتیک شاخه ای از علم فیزیک است که به مطالعه رفتار و خواص نور مرئی، مادون قرمز و فرابنفش می پردازد و دربسیاری از علوم (ستاره شناسی، مهندسی، پزشکی، عکاسی و...)کاربرد دارد. لیزر نیز به دلیل خواص متمایزش نقش بسيار مهمي در افزايش توليدات صنعتي، گسترش ارتباطات و پيشرفت صنعت چاپ و پزشکی دارد. در رشته مهندسی اپتیک و لیزر دانشجویان با انواع لیزر و اپتیک و کاربردهای آنها، اسپکتروسکوپی لیزری(اندازه گیری طول موج و فرکانس)، فن آوری ساخت قطعات اپتیکی و...آشنا می شوند و قادر به طراحی و ساخت تجهیزات اپتیکی و لیزری مورد نیاز در زمینه های مختلف باشند.

به ادامه ی مطالب بروید.

مهندسی پزشکی یا مهندسی زیست پزشکی (به انگلیسی: Biomedical engineering) به دنبال ایجاد ارتباط منطقی بین علوم مهندسی و دانش پزشکی می‌باشد.

مقدمه

در ریاضیات ضرب اعداد چند رقمی و یا تقسیم آنها شاید برای دانش آموزان مشکل باشد و باعث شود که آنها ماشین حساب متوسل شوند. ولی ما در اینجا بعضی از روشهای محاسبه این اعمال را یاد می‌گیریم. به فرض وقتی می‌خواهیم روش حفظ کل تقویم سال را که بسیار ساده است، در چند دقیقه یاد بگیریم. حتی در ظرف یک دقیقه هم امکان پذیر است. فقط شما کافی است اولین شنبه هر ماه را بدانید که چندم است؟ مثلا اگر سوم فروردین است، اولین پنجشنبه آن می‌شود: 

رمز: "فریدون سه بخش است" 
اسفند: وقتی اسپند دود می‌کنم یک غول سه سر از اون بیرون میاد! 
دومین سه شنبه؟ 13=3+7+3 
"مغز می‌تواند مانند سایر استعدادهای بدن پرورش یابد." 

مقدمه

مطالعه توصیفی داده مشتمل بر تعریف آمار توصیفی است. آمار توصیفی یعنی خلاصه کردن و توضیح خصوصیات مهم مجموعه داده‌ها. این مبحث مشتمل است بر فشرده کردن داده‌ها در قالب جداول ، نمایش آنها بوسیله نمودار و محاسبه شاخصهای عددی گرایش به مرکز و تفرق. این روشها انعطاف پذیرند و آنها را هم می‌توان در مواردی بکار برد که مجموعه داده‌ها بوسیله نمونه‌گیری بخش کوچکی از جامعه بدست می‌آید و هم در مواردی که مجموعه داده‌ها تقریبا تمام جامعه را شامل است مثلا در سرشماریها. 

ریشه لغوی استنتاج

واژه عربی "استنتاج" به معنی طلب نتیجه کردن، یا نتیجه خواستن است که در زبان فارسی "نتیجه گیری" را معادل با آن به کار می‌برند. اگر "پیامد" را به معنی نتیجه بپذیریم، می‌توانیم استنتاج را "پیامدیابی" بنامیم. واژه فارسی "هوده" نیز به معنی نتیجه است و شاید بتوان "هوده‌یابی" یا "هوده گویی" را نیز به جای استنتاج به کار برد. 

تعریف استنتاج منطقی

استنتاج منطقی ، که آن را قیاس می‌نامند، بدان معنی است که از یک یا چند گزاره مفروض با ارزشهای معین، گزاره دیگر را نتیجه بگیریم، یا اینکه ارزش این گزاره را معلوم کنیم. بنا به نوشته ابن‌سینا که از ارسطو نقل شده است: "قیاس سخنی بود که در آن سخنانی گفته شود که چون این سخنان پذیرفته آید از آنجا بالضروره گفته دیگر لازم آید." 

مقدمه

هندسه تحلیلی شامل مباحثی چون بردارها ، معادلات حرکت پرتابه ، معادلات خط ، ضرب عددی و برداری، بردارها. مقاطع مخروطی که در هندسه یونان پا گرفت و امروزه با معادلات درجه دو بعنوان منحنی‌هایی در صفحه مختصات توصیف می‌شوند یونانیان زمان افلاطون این منحنی‌ها را فصل مشترک یک صفحه با یک مخروط می‌گرفتند که نام مقطع مخروطی از آن ناشی شده است. نکته‌ای که حائز اهمیت اشاره به این مسئله است که در مطالعات هندسه تحلیلی مختصات دکارتی از اهمیت فوق‌العاده‌ای دارد زیرا توسط این مختصات ما می‌توانیم طول و عرض و ارتفاع اجسامی را که می‌بینیم به صفحه منتقل کرده و درباره آنها براحتی به مطالعه پردازیم.

هندسهٔ مسطحه (به انگلیسی: Plane geometry) شاخه‌ای از هندسه اقلیدسی است که با شکل‌های دو بعدی سروکار دارد.

در هندسه مسطحه صفحه همواره به صورتی که داده شده است در نظر گرفته می‌شود و بررسی‌های هندسی را، در حالت عمومی، در این صفحه انجام می‌دهند؛ اما در حالت‌های خاص بهتر است که فضای اقلیدسی نیز به عنوان یک شی هندسی در نظر گرفته شود.

نقطه‌ها و خط‌ها مفاهیم اساسی هندسه مسطحه مقدماتی‌اند. به طور شهودی، خط را اغلب به صورت مسیر نقطه‌ای تعریف می‌کنند که در صفحه به چنان طریقی حرکت می‌کند که همواره کوتاهترین راه بین دو مکان خود را اختیار می‌کند و تغییر سو نمی‌دهد: با این همه، حتی در رهیافتی دقیق‌تر نیز هیچ گونه تعریفی از خط و نقطه داده نمی‌شود اما در ریاضیات جدید رابطه‌های بین این دو نوع شی هندسی توسط اصل موضوعه مشخص می‌شوند.

به ادامه ی مطلب مراجعه فرمایید.

چهارگان‌ها یا کواترنیون‌ها عضوی از خانوادهٔ ریاضیات گسسته هستند که اولین بار توسط ویلیام روآن همیلتون ابداع گردیدند.

ایدهٔ کواترنیون‌ها زمانی به ذهن وی خطور کرد که در طول کانال سلطنتی به سمت آکادمی ایرلند گام بر می‌داشت. همیلتون به قدری از یافتهٰ خود شادمان شد که فرمول ابتدایی آن را همانجا روی دیوار حک کرد:

از فرمول ابتدایی همیلتون، عبارتهای زیر به دست می‌آیند که معادل با ضرب برداری در فضای ۳ بعدی هستند.

یک عدد موهومی، یک عدد به شکل است به طوری که یک عدد غیر صفر و حقیقی، همچنین نیز به صورت (که به آن واحد موهومی نیز می‌گویند) تعریف شده باشد، است. یک عدد موهومی را می‌توان به یک عدد حقیقی مانند اضافه کرد که پس از آن یک عدد مختلط به شکل که در آن و به ترتیب، قسمت حقیقی و قسمت موهومی است تشکیل شود. همچنین می‌توان گفت که اعداد موهومی، اعداد مختلطی هستند که قسمت حقیقی آن‌ها صفر باشد. مربع یک عدد موهومی، یک عدد حقیقی منفی است.

بُعد (در فارسی دورامون^[۱]، وامون^[۲] یا دورا^[۳]) در معنی عادی به یک اندازه یا پارامتر گفته می‌شود که برای تعریف ویژگی‌های یک جسم به آن نیازمندیم، برای نمونه درازا، پهنا، بلندا و ژرفنا. برای بیان این اندازه‌ها در فارسی از واژه‌های عربی طول، عرض، ارتفاع و عمق هم استفاده می‌شود.

یکلای ایوانوویچ لوباچفسکی (به روسی: Никола́й Ива́нович Лобаче́вский){فرزند پراسکوفیا الکساندروفنا و ایوان ماکسیموویچ لباچفسکی} (زاده ۱۱ آذر ۱۱۷۱ / ۱ دسامبر ۱۷۹۲ {۲۰ نوامبر در } در استان نیژنی نووگورود (اکنون امپراتوری روسیه - درگذشته ۴ اسفند ۱۲۳۵ / ۲۴ فوریه ۱۸۵۶ در قازان)، ریاضی‌دان روس.

لوباچفسکی، هر چند دربارهٔ موضوعات متنوعی از قبیل مکانیک، اخترشناسی، نظریهٔ احتمالات، تحلیل ریاضی (آنالیز)، و جبر پژوهش کرد و مقاله و کتاب نوشت اما نام او را فعالیت در زمینهٔ هندسه و ابداع هندسهٔ نااقلیدسی در تاریخ ماندگار کرد.

امروزه اغلب هندسه هذلولوی را به نام او می‌نامند.

مکتب فیثاغوری یکی از مکاتب فلسفی پیشاسقراطی بود که توسط فیثاغورس بنیان نهاده شد.

فیثاغورس از شاگردانش انجمنی در شهر کُرُتُن در جنوب ایتالیا تشکیل داد. او در آنجا نه تنها به آموزش ریاضیات می‌پرداخت، بلکه از ریاضیات نتایج فلسفی و عرفانی می‌گرفت.

باید دانست که پیروان فیثاغورس تمام نظریاتشان را به «استاد» نسبت می‌دادند؛ و بنابراین مشخص نیست که چه اندازه از آیین فیثاغوری از خود فیثاغورس، و چه اندازهٔ آن از شاگردانش است.

• هوویت و اسو بمپاه(Howitt & Owusu _Bempah) (۱۹۹۰) شواهد و مدارک معتبری در ارتباط با وجودِ برخی تعصباتِ نژادی در روانشناسی ارائه کردند. آن‌ها پس از بررسیِ تمامیِ مباحثِ مجله‌های روانشناسی اجتماعی و کلینیکی بریتانیا طی سالهای ۱۹۶۲ تا ۱۹۸۰ با نهایتِ حیرت دریافتند که در بررسیِ شخصیتیِ افرادِ فرهنگ‌های غیر غربی از تست‌های غربی که هیچ تناسبی با فرهنگ‌های مذکور نداشتند استفاده شده‌است. همانطوری که آنها نشان داده‌اند: «هیچ تلاشی در جهتِ فهمِ ساختارهای شخصیتیِ فرهنگ‌های دیگر (مثلاً غنایی‌ها و یا چینی‌ها) از طریقِ دیدگاه‌های موجود در همان فرهنگ‌ها صورت نگرفته‌است و آنچه ارائه شده‌است بررسی این فرهنگ‌ها با ملاک‌های غربی و نامربوط بوده‌است.» ^[۱]
• اوسو بمپاه و هویت (۱۹۹۴) مدارکِ آشکاری از تبعیضِ نژادی در متونِ مشهورِ روانشناسیِ آتکینسون، آتکینسون، اسمیت و بم (۱۹۹۳) یافتند. آنها نشان دادند که آتکینسون و دیگران، فرهنگ‌ها را بر مبنای غربی بودن یا غربی نبودن دسته بندی کرده‌اند. در تقسیم بندیِ آنها تمامیِ فرهنگ‌های غربی در یک گروه و بقیهٔ فرهنگ‌های جهان در گروه دیگر قرار می‌گیرند. آنها همچنین متوجه شدند که در بررسی قبایلِ آفریقایی هیچ گونه تلاشی جهتِ مشخص نمودنِ اینکه کدامیک از قبایلِ آفریقایی موردِ مطالعه هستند صورت نگرفته‌است.هوویت و اوسو بمپاه (۱۹۹۴) چنین نتیجه گرفتند : «آتکینسون و دیگران (۱۹۹۳) فرهنگ‌های دیگر را بر مبنای تکنولوژی و دستاوردهای فرهنگی اروپا و آمریکا ارزیابی کرده‌اند». به گفتهٔ آنها «فرهنگ‌هایی که دارای استانداردهای مستبدانهٔ اروپامحور نیستند اغلب با عناوینِ «ابتدایی»، «توسعه نیافته» و یا در بهترین حالت، «در حال توسعه» توصیف می‌شوند. در این دسته بندیِ نژاد پرستانه، تمامیِ اخلاقیات، آیین‌های قومی - مذهبی، و... نادیده انگاشته شده‌اند. این نوع نگرش نتیجه‌ای جز برتر شمردنِ سفیدپوستان و تاییدِ شیوه‌های زندگی آنها و از طرفِ دیگر محرومیتِ سیاه‌پوستان و دیگر اقلیت‌ها و تحقیر فرهنگِ ایشان به همراه نداشته‌است.»

هر نوع بيان واقعيت، يكسره درست يا نادرست نيست. حقيقت آنها چيزي بين درستي كامل و نادرستي كامل است. چيزي بين يك و صفر، يعني مفهومي چند ارزشي و يا خاكستري. حال فازي چيزي بين سياه و سفيد، يعني خاكستري است. «بارت كاسكو» (غفاري و همكاران، 1380). منطق فازي[1] در برابر منطق «باينري» يا «ارسطويي» كه همه چيز را فقط به دو شكل سياه و سفيد، بلي و خير و صفر و يك مي‌بيند، قرار دارد. اين منطق در بازه بين صفر و يك قرار داشته و با دوري از مطلق‌گويي (فقط صفر يا يك) از مقدار تعلق عضوي به مجموعه بحث مي‌كند. مثلا يك فرد 40ساله، 15درصد به مجموعه جوان، 70درصد به مجموعه ميانسالان و 25درصد به مجموعه پيران تعلق دارد. اين منطق مطلقا نمي‌گويد كه مثلا فرد موردنظر ميانسال است (مجموع تعلق‌ها الزاما برابر يك نيست).
منطق فازي در 1965 براي اولين بار در مقاله‌اي به همين نام، توسط پروفسور «لطفي عسگرزاده» ارائه شد و در حال حاضر كاربردهاي فراواني دارد و در حيطه مديريت نيز جاي خاصي را به خود اختصاص داده است. اين منطق براي سنجش مسائل و الگوهاي كيفي، كاربرد فراوان دارد و پاسخگوي مسائل زيادي در رشته‌هاي علوم انساني بويژه مديريت است.
منطق فازي راهكاري است كه به وسيله آن مي‌توان سيستم‌هايي پيچيده را كه مدلسازي آنها با استفاده از رياضيات و روش‌هاي مدلسازي كلاسيك غيرممكن بوده و يا بسيار مشكل است، به آساني و با انعطاف بسيار بيشتر، مدلسازي كرد.
در اين مقاله، سعي شده است تا شمايي از منطق فازي، به زباني ساده، ارائه شود. همچنين، مختصري به بنيانگذار اين منطق اشاره شده و در مورد كاربردها، متغيرهاي زباني، قوانين «اگر-آنگاه»، چگونگي به كارگيري و در نهايت تفاوت آن با نظريه احتمالات، بحث شده است.
از آن زمان كه انسان انديشيدن را آغاز كرد، همواره كلمات و عباراتي را بر زبان جاري ساخته كه مرزهايي روشن نداشته‌اند. كلماتي نظير: خوب، بد، جوان، پير، قوي، ضعيف، گرم، سرد، باهوش، زيبا و قيودي نظير: معمولاً، غالباً، تقريباً و به ندرت. روشن است كه نمي‌توان براي اين كلمات رمزي مشخص يافت.
اين باور به سياه و سفيدها، صفر و يك‌ها و نظام دو ارزشي گذشته بازمي‌گردد و حداقل به يونان قديم و ارسطو مي‌رسد. البته قبل از ارسطو نوعي ذهنيت فلسفي وجود داشت كه به ايمان «دودويي» با شك و ترديد مي‌نگريست.
منطق ارسطو، اساس رياضيات كلاسيك را تشكيل مي‌دهد. براساس اصول و مباني اين منطق، همه چيز تنها مشمول يك قاعده ثابت مي‌شود كه براساس آن، هر چيز يا درست است يا نادرست. منطق ارسطويي دقت را فداي سهولت مي‌كند. نتايج منطق ارسطويي، «دوارزشي» و «درست يا نادرست»، «سياه يا سفيد» و «صفر يا يك» مي‌تواند مطالب رياضي و پردازش رايانه‌اي را ساده كند (همان منبع).
منطق فازي، جهان‌بيني جديدي است كه به رغم ريشه داشتن در فرهنگ مشرق زمين، با نيازهاي دنياي پيچيده كنوني بسيار سازگارتر از منطق ارسطويي است. منطق فازي، جهان را آن‌طور كه هست به تصوير مي‌كشد. دنيايي كه ما در آن زندگي مي‌كنيم، دنياي مبهمات و عدم قطعيت است. مغز انسان عادت كرده است كه در چنين محيطي فكر كند و تصميم بگيرد و اين قابليت مغز كه مي‌تواند با استفاده از داده‌هاي ناصحيح و كيفي به يادگيري و نتيجه‌گيري بپردازد، در مقابل منطق ارسطويي كه لازمه آن داده‌هاي دقيق و كمي است، قابل تامل است (همان منبع).

بنيانگذار منطق فازي
پروفسور لطفي‌زاده، كه در جهان علم به پروفسور زاده مشهور است، در 1921 در شهر باكوي جمهوري آذربايجان به دنيا آمد. مادرش پزشك روس و پدرش روزنامه‌نگاري ايراني بود كه در آن زمان به دلايل شغلي در باكو به سر مي‌برد. او در 10سالگي همزمان با حكومت ديكتاتوري استالين در اتحاد جماهير شوروي سابق، همراه با خانواده مجبور به مراجعت به ايران شد. لطفي‌زاده در كالج البرز تهران (دبيرستان كنوني البرز) تحصيلات متوسطه را به پايان رساند و در امتحانات كنكور سراسري، مقام دوم را كسب كرد. او در 1942 رشته برق و الكترونيك دانشگاه تهران را با موفقيت به پايان رساند و طي جنگ جهاني دوم براي ادامه تحصيلات به امريكا رفت و دوره فوق‌ليسانس مهندسي برق را در انستيتو تكنولوژي ماساچوست MIT طي كرد. پس از آن، دانشگاه كلمبيا در نيويورك را انتخاب كرد و سرانجام در 1949 موفق به دريافت درجه دكتراي خود از اين دانشگاه شد.
وي تئوري و منطق فازي را پايه‌گذاري كرده و در زمينه كاربردهاي آن در هوش مصنوعي، زبان‌شناسي، منطق، تئوري تصميمات، تئوري كنترل، سيستم‌هاي خبره و شبكه‌هاي اعصاب، به تحقيقات گسترده‌اي پرداخت. در حال حاضر، حاصل تحقيقات پروفسور لطفي‌زاده در زمينه منطق فازي در بخش‌هاي گوناگون طراحي نرم‌افزار و سخت‌افزار و محاسبات كامپيوتري بر مبناي كلمات، تئوري شعور كامپيوتر در درك زبان طبيعي و صنايع سبك و سنگين مورداستفاده است.
پروفسور لطفي‌زاده به عنوان كاشف و مبتكر منطق فازي طي يك مقاله علمي كلاسيك كه در 1965 به چاپ رسيد، شهرت جهاني يافت. وي به‌طور رسمي از 1991 بازنشسته شده و مقيم سانفرانسيسكو است. پروفسور لطفي‌زاده داراي 23 درجه دكتراي افتخاري از دانشگاه‌هاي معتبر جهان است، بيش از 200مقاله علمي را به تنهايي به نگارش درآورده و در حال حاضر عضو هيئت تحريريه بيش از 50 مجله علمي دنياست (همان منبع).

فازي و منطق فازي
واژه «فازي» در فرهنگ لغت آكسفورد، به معناي «مبهم، گنگ، نادقيق، گيج، مغشوش، درهم و نامشخص» آمده است. معاني ديگري مثل كركي، درهم و برهم، پرزدار، تيره و نامعلوم نيز از جمله معاني ديگر واژه فازي است.
در مجموع، واژه فازي به «مفاهيم فاقد مرز دقيق» اشاره دارد (Charleson, 1998). لطفي‌زاده در پاسخ به اين سوال كه چرا كلمه فازي را براي اين نظريه انتخاب كرده است، مي‌گويد: «من كلمه فازي را انتخاب كردم چون احساس مي‌كردم كه اين كلمه با بيشترين دقت آنچه را در اين نظريه آمده است، توصيف مي‌كند (قيومي، 1381).
فازي بودن به معناي چندارزشي بودن است و در مقابل منطق دو ارزشي كه در آن براي هر سوال و يا مفهومي تنها دو پاسخ و يا حالت (درست يا نادرست سياه يا سفيد) مي‌تواند وجود داشته باشد، قرار مي‌گيرد. در واقع منطق ارسطويي را مي‌توان حالت خاصي از تفكر فازي به حساب آورد (Burrough& et al,1992).
منطق فازي معتقد است كه ابهام در ماهيت علم وجود دارد. برخلاف ديگران كه معتقدند كه بايد تقريب‌ها را دقيق‌تر كرد تا بهره‌وري افزايش يابد، لطفي‌زاده معتقد است كه بايد به دنبال ساختن مدل‌هايي بود كه ابهام را به عنوان بخشي از سيستم، مدل كند.
منطق فازي، تكنولوژي جديدي است كه شيوه‌هاي مرسوم براي طراحي و مدل‌سازي يك سيستم را كه نيازمند رياضيات پيشرفته و نسبتاً پيچيده است، با استفاده از مقادير و شرايط زباني و يا به بياني ديگر دانش فرد خبره و با هدف ساده‌سازي و كارامدتر شدن طراحي سيستم جايگزين و يا تا حدود زيادي تكميل مي‌كند.
اين نظريه، قادر است بسياري از مفاهيم، متغيرها و سيستم‌هايي را كه نادقيق و مبهم هستند (همان‌طور كه در عالم واقع نيز اكثراً چنين است) صورتبندي رياضي كرده و زمينه را براي استدلال، استنتاج، كنترل و تصميم‌گيري در شرايط عدم اطمينان ، فراهم آورد. (طاهري، 1378).
در سيستم‏هاي داراي عدم قطعيت زياد و پيچيدگي‌هاي بالا، منطق فازي روشي مناسب براي مدلسازي به شمار مي‌رود.
در سيستم فازي، عدم قطعيت پديده‌ها دو نوع هستند:
1. عدم قطعيت ناشي از ضعف دانش و ابزار بشري در شناخت پيچيدگي‌هاي يك پديده.
2. عدم قطعيت مربوط به عدم صراحت و عدم شفافيت مربوط به پديده يا ويژگي خاص.
يعني، پديده ممكن است ذاتاً غير صريح و وابسته به قضاوت افراد باشد (كوره‌پزان، 2، 1384) مثلاً نمره رضايت شغلي بالا براي كارمندي، ممكن است 80 از 100باشد و براي ديگري 95.

منطق‌هاي رياضي
منطق كلاسيك (دودويي، باينري): منطقي است كه در آن، گزاره‌ها فقط ارزش راست يا دروغ دارند كه آن را منطق 0 و 1 مي‌نامند.
منطق چندمقداره: منطقي كه علاوه‌بر 0 و 1 چند مقدار ديگر را نيز اختيار مي‌كند.
منطق بينهايت مقداره: در اين منطق، ارزش گزاره‌ها مي‌تواند هر عدد حقيقي بين 0 تا 1 باشد.
منطق فازي: نوعي از منطق بي‌نهايت مقداره و در واقع ابتكاري براي بيان رفتار مطلوب سيستم‌ها با استفاده از زبان روزمره. در واقع، منطق فازي منطقي پيوسته است كه از استدلال تقريبي بشر الگوبرداري كرده است.

ويژگي‌هاي منطق فازي
الف- در منطق فازي، استدلال‌هاي دقيق به عنوان مواردي مرزي استدلال‌هاي تقريبي تلقي مي‌شوند.
ب- در منطق فازي، هر چيزي درجه‌پذير است.
پ- هر سيستم منطقي مي‌تواند فازي شود.
ت- در منطق فازي، دانش به عنوان مجموعه‌اي از محدوديت‌هاي تغييرپذير و يا به طور معادل فازي كه بر روي مجموعه‌اي از متغيرها اعمال مي‌شود، تعبير مي‌گردد.
ث- استنتاج، به عنوان فرايند گسترش محدوديت‌هاي تغييرپذير درنظر گرفته مي‌شود (قيومي، 1381).

كاربردها
در 1974، ابراهيم ممداني از دانشگاه لندن، براي نخستين بار از منطق فازي در زمينه كنترل يك موتور بخار ساده استفاده كرد. اولين كاربرد صنعتي منطق فازي، 6 سال بعد صورت گرفت. در 1980 «اسميت» از دانمارك براي نخستين بار از منطق فازي براي كنترل كوره سيمان استفاده كرد. در دهه 1980 موسسه «فوجي الكتريك» منطق فازي را براي كنترل فرايند تصفيه آب به‌كار گرفت. متعاقب آن، شركت «هيتاچي» يك سيستم كنترل خودكار قطار را بر مبناي منطق فازي توسعه داد. گفتني است كه در اوايل دهه 1990 موسسات گفته شده ژاپني‌ در زمينه كاربرد منطق فازي، پيشتاز بوده‌اند.
فازي در كارخانه‌هاي بزرگ نظير ذوب آهن، صنايع خودروسازي، شيشه‌سازي، تصفيه آب، واحدهاي توليد انرژي و در واحدهاي توليدي كوچك نظير كارخانه‌هاي ساخت ماشين لباسشويي و وسائل الكترونيكي مانند ويدئو و ... كاربردهاي گوناگوني پيدا كرده است. (طاهري، 50، 1378).
كاربرد منطق فازي در صنايع خودروسازي مربوط به تنظيم و كنترل ترمزهاي ABS، سيستم ترمز ضدلغزش و گيربكس اتوماتيك براي خودروها (در كارخانه نيسان)، گيربكس اتوماتيك براي خودروها (در شركت سوبارو)، تشخيص عيب در فرايند توليد، محاوره بين ماشين و انسان، كنترل كيفيت و... بوده است.

متغير زباني و قواعد اگر- آنگاه فازي
يكي از ويژگي‌هاي منطق فازي در استفاده از ساختار قانون پايه منطقه فازي است كه طي آن، مسائل كنترلي به يك سري قوانين IF x And y THEN z تبديل مي‌شوند كه پاسخگوي خروجي مطلوب سيستم براي شرايط ورودي داده شده به سيستم است. اين قوانين ساده و آشكار براي توصيف پاسخ‌دهي مطلوب سيستم با اصطلاحاتي از متغيرهاي زبان شناختي به جاي فرمول‌هاي رياضي استفاده مي‌شود.
نكته جالب اينجاست كه گرچه سيستم‌هاي فازي پديده‌هاي غيرقطعي و نامشخص را توصيف مي‌كنند، اما تئوري فازي، تئوري دقيقي است.
متغير زباني، متغيري است كه مقاديرش كلمات يا جملات يك زبان طبيعي و يا مصنوعي باشد. مثلاً، سن يك فرد را درنظر بگيريد، اگر مقاديري را كه سن اختيار مي‌كند با كلماتي نظير: نونهال، نوجوان، جوان، مسن و پير نشان دهيم، متغير سن، متغيري زباني است (آذر و فرجي، 1386، 198).

مثال: سرعت ماشين، متغير x است كه مقاديري را در محدوده [0,Vmax] مي‌پذيرد. اكنون ما سه مجموعه فازي «كند»، «متوسط»، «تند» را مطابق شكل زير در محدوده [0,Vmax] تعريف مي‌كنيم. اگر ما x را يك متغير زباني ببينيم، آنگاه x مي‌تواند «كند» و «متوسط» و «تند» را به عنوان مقدار بپذيرد (شكل1).

شكل1: سرعت ماشين به عنوان يك متغير زباني

يك متغير زباني توسط پنج‌تايي (X,T(x),U,G,M) مشخص مي‌شود كه در آن:

شكل2

 

به عنوان نمونه، دماهاي بين دماي T1 و T2، هم به مجموعه «سرد» و هم به مجموعه «خنك» تعلق دارند، اما درجه عضويت دمايي معين در اين فاصله، در هر يك از دو مجموعه متفاوت است. به طوري كه دماي نزديك T2 تنها به اندازه چندصدم عضو مجموعه «سرد» و نزديك به 90درصد عضو مجموعه «خنك» است. (نوعي‌پور، 1382)

يكي از بزرگترين رياضيدانهاي فرانسوي كه در همه ي رشته ي رياضيات محض وكاربردي اكتشافاتي دارد

ولي خدمت بزرگ وي اينست كه اناليز رياضي را بر مباني محكم واستوار ساخت .از 1816 استاد پوليتكنيك پاريس ,د انشگاه پاريس , كولژ دو فرانس بود تا انكه در انقلاب 1830 به سبب اينكه حاضر نشد نسبت به لويي فليپ سوگند وفاداري ياد كند اين مشاغل را از دست داد ودر سال1830-1838 در تورن ايتاليا استاد فيزيك رياضي گرديد .در 1838 به فرانسه برگشت و كرسي سابق خود را در پوليتكنيك باز يافت .

كوشي رياضيات را مخصوصا اناليز را نسبت به  قرن گذشته سخت دگرگون كرد .رياضيدانان پيشين

حساب ديفرانسيل و انتگرال را بسط فراوان داده بودند و انها را در حل مسايل متنوع بكار بسته بودند ولي –پيش از طلوع كوشي- مفاهيم اساسي اين مبحث به دقت تقرير نشده بود .كوشي با روشهاي روشن ودقيق خود كه انها را در سه كتاب معروفش –دوره ي اناليز مدرسه ي پوليتكنيك(1821), حساب بينهايتيك(1823), ودروس موارد استعمال حساب بينهايتيك در هندسه (1826-1828)-بكار بسته است , اناليز رياضي را منقلب ساخت , مباني اين علم را , به وسيله ي حد واتصال (پيوستگي) تنقيح كرد, ونخستين كسي بود قضيه ي تيلر را دقيقا اثبات كرد

معرفی کتب آمار:


عنوان کتاب:کاربرد  آمار و احتمال در منابع آب
مولف:حجت رضایی پژند
توضیحات: کتابی بسیار مفید برای درس آمار و احتمالات مهندسی و درس هیدرولوژی

عنوان کتاب:تحلیل رگرسیون غیر خطی وکاربردهای آن
مولف:داگلاس ام.بیز-دونالد جی . واتز
ترجمه:حجت رضایی پژند-ابوالقاسم بزرگنیا
توضیحات:این کتاب شامل مباحث خلاصه ای از رگرسیون خطی و مباحث مفصلی از رگرسیون غیر خطی ورگرسیون غیر خطی قابل تبدیل به خطی می باشد.

عنوان کتاب:مفاهیم وروشهای آماری
مولف:گوری ک . باتاچاریا-ریچارد ا.جانسون
ترجمه:فتاح میکائیلی
توضیحات:این کتاب دارای دو جلد می باشد و برای دروس آمار مقدماتی و روش های آماری وطرح آزمایشها و رگرسیون قابل استفاده می باشد.

عنوان کتاب:آمار و احتمال مقدماتی
مولف:جواد بهبودیان
توضیحات: کتابی بسیار مفید برای آمار و احتمال مقدماتی و درس روش های آماری

عنوان کتاب:نظریه آحتمالات و نتیجه گیری آماری
مولف:هرولد ج.لارسن
ترجمه:غلامحسین شاهکار
توضیحات:این کتاب شامل مباحثی از مبانی احتمال و متغییر های تصادفی و همچنین در چند فصل آخر به بررسی های نمونه ای و نتیجه گیری و آزمون فرض می پردازد.

عنوان کتاب:مقدمه ای بر نظریه آمار
مولف:الکساندر م.مود-فرانکلین آ.گریبل-دون س.بوز
ترجمه:دکتر علی مشکانی
توضیحات:کتابی مفید برای دروس احتمال و آمار ریاضی

عنوان کتاب:مبانی احتمال
مولف: شلدون راس
ترجمه:دکتر احمد پارسیان-دکتر علی همدانی
توضیحات:کتابی سودمند برای دروس احتمال و کاربردوبخشهایی از آمار ریاضی با مثال های فراوان وکاربردی

عنوان کتاب:مبانی آمار ریاضی
مولف:دکتر احمد پارسیان
توضیحات: شامل مطالب مورد نیاز برای دروس آمار ریاضی 1و 2

عنوان کتاب:آمار ریاضی
مولف:جان فروند
ترجمه:
توضیحات:

عنوان کتاب:طرح وتحلیل آزمایشها
مولف:داگلاس سی مونت گمری
ترجمه:دکتر غلامحسین شاهکار
توضیحات:این کتاب در برگیرنده مطالب مفید برای درس طرح آزمایشها می باشد.

عنوان کتاب:مقدمه ای برتحلیل رگرسیون خطی
مولف:داگلاس مونت گمری-الیزابت پک
ترجمه:سید ابراهیم رضوی پاریزی
توضیحات:برای درس تحلیل رگرسیون خطی مفید می باشد


عنوان کتاب:رگرسیون خطی
مولف:سنفورد وایزبرگ
ترجمه:دکتر حسینعلی نیرومند
توضیحات:یکی از سودمند ترین کتاب ها در زمینه آنالیزرگرسیون خطی می باشد.

عنوان کتاب:مقدمه ای بر تحلیل سری های زمانی
مولف:س.چتفیلد
ترجمه:دکتر حسینعلی نیرومند-دکتر بزرگنیا
توضیحات:کتابی مفید در تحلیل سری های زمانی برای کارشناسی و کارشناسی ارشد

عنوان کتاب:مقدمه ای بر بررسی نمونه ای
مولف:شیفر-مندنهال-آت
ترجمه:دکتر ارقامی-دکتر سنجری-دکتر بزرگنیا
توضیحات:این کتاب بیشتر بر جنبه های عملی مسائل تاکید دارد و قابل استفاده برای دانشجویانی که در ریاضیات توانایی زیادی ندارند هم هست.

عنوان کتاب:نظریه روش های نمونه گیری
مولف:اس.سمپس
ترجمه:دکتر حسینعلی نیرومند
توضیحات:برجنبه های نظری مسائل تاکید دارد

عنوان کتاب:نظریه نمونه گیری وکاربرد های آن
مولف:دکتر علی عمیدی
توضیحات:شامل مثال های متنوع و فراوان اعم از تشریحی و تستی می باشد که برای آزمون کارشناسی ناپیوسته و کارشناسی ارشد کتاب خوبی می باشد

عنوان کتاب:آمار ناپارامتریک وروش تحقیق و نرم افزار
مولف:سید یعقوب حسینی
توضیحات:در این کتاب علاوه بر تشریح کامل آزمون ها کار با ازمون ها را در نرم افزار اس پی اس اس را هم مورد بحث قرار می دهد

Sas عنوان کتاب: آمار کاربردی و زبان برنامه نویسی
مولف:حمید رضا نواب پور
توضیحات:به نرم افزارسَس تحت داس می پردازد

spss11 عنوان کتاب:آموزش آنالیز آماری دادها در
مولف:ماریجا نوروسیس
ترجمه:اکبر فتوحی-فریبا اصغری
spss11 توضیحات:کتابی جامع و راهگشا برای نرم افزار

و کتب زیر:

               Notes on Algebraic Numbers      Lie Algebras    Workbook in Higher Algebra    FIELDS AND GALOIS THEORY     ALGEBRAIC NUMBER THEORY