نظریّهٔ آشوب یا نظریّهٔ بی‌نظمی‌ها به مطالعهٔ سیستم‌های دینامیکی آشوب‌ناک می‌پردازد. سیستم‌های آشوب‌ناک، سیستم‌های دینامیکی‌ای غیرخطی هستند که نسبت به شرایط اولیه‌شان بسیار حساس‌اند. تغییری اندک در شرایط اولیهٔ چنین سیستم‌هایی باعث تغییرات بسیار در آینده خواهد شد. این پدیده در نظریهٔ آشوب به اثر پروانه‌ای مشهور است.

رفتار سیستم‌های آشوب‌ناک به ظاهر تصادفی می‌نماید. با این‌حال هیچ لزومی به وجود عنصر تصادف در ایجاد رفتار آشوبی نیست و سیستم‌های دینامیکی‌ی معین (deterministic) نیز می‌توانند رفتار آشوب‌ناک از خود نشان دهند.

می‌توان نشان داد که شرط لازم وجود رفتار آشوب‌گونه در سیستم‌های دینامیکی‌ی زمان‌پیوسته مستقل از زمان (time invariant) داشتن کمینه سه متغیر حالت است (سیستم مرتبه سه). نمونه‌ای از چنین سیستم‌ای است. برای سیستم‌های زمان‌گسسته، وجود یک متغیر حالت کفایت می‌کند. نمونهٔ مشهور چنین سیستم‌ای، مدل جمعیتی‌ی بیان‌شده توسط logistic map است.

ترکیبیات شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی ساختارهای متناهی و شمارا می‌پردازد. بخش‌های مختلف ترکیبیات تشکیل شده‌اند از:

• شمارش ساختارهای دارای حالت و یا اندازه‌ای خاص ()
• تصمیم‌گیری این که چه زمانی معیارهای خاصی مانند تعادل و تقارن رعایت می‌شوند، و ساخت و بررسی
• پیدا کردن "بزرگترین" شی، "کوچکترین" شی و یا شی "بهینه". (بهینه سازی ترکیبیاتی و ).
• بررسی ساختارهای ترکیبیاتی به‌وجود آمده در زمینه‌های جبری یا بکارگیری فنون جبری در مسائل ترکیبیاتی ()

شرطی صوری و شرطی مادی (5)
میان استعمال ادات شرط در لغت عادی و استعمال آن در منطق ریاضی تفاوت هست، در لغت و زبان روزمره دو جمله را با اگر ربط نمی‏دهیم، مگر اینکه میان آن دو جمله از نظر صورت و مضمون نوعی ارتباط باشد، یعنی از نظر معنا میان مقدم و تالی باید نوعی ارتباط باشد، مثلا از نظر لغوی نمی‏توانیم بگوییم:«اگر 3 عدد فرد باشد پس تهران شهر بزرگی است».
زیرا بین فردیت 3 و بزرگ بودن تهران هیچ نوع ارتباطی از نظر معنا وجود ندارد و ما غالبا این ترکیب را در صورتی بکار می‏بریم که رابطه‏ای قوی میان مقدم و تالی باشد.

شرطی صوری و شرطی مادی (5)
میان استعمال ادات شرط در لغت عادی و استعمال آن در منطق ریاضی تفاوت هست، در لغت و زبان روزمره دو جمله را با اگر ربط نمی‏دهیم، مگر اینکه میان آن دو جمله از نظر صورت و مضمون نوعی ارتباط باشد، یعنی از نظر معنا میان مقدم و تالی باید نوعی ارتباط باشد، مثلا از نظر لغوی نمی‏توانیم بگوییم:«اگر 3 عدد فرد باشد پس تهران شهر بزرگی است».
زیرا بین فردیت 3 و بزرگ بودن تهران هیچ نوع ارتباطی از نظر معنا وجود ندارد و ما غالبا این ترکیب را در صورتی بکار می‏بریم که رابطه‏ای قوی میان مقدم و تالی باشد.

الفاظ ساختی و الفاظ غیر ساختی
الفاظ لغت را از جهت کاربرد به دو دسته می‏توان تقسیم کرد:
نخست، الفاظی که آنها را برای نامیدن اشیاء بکار می‏بریم، مانند:درخت، چوب، فرانسه، تهران...، این نوع الفاظ«الفاظ غیر ساختی» Non-structural words هستند همه افعال و اسمهای علم و صفات از این دسته‏اند.

گزاره (statement) جمله‌ای است خبری که دقیقاً درست یا نادرست باشد، هر چند که درستی یا نادرستی آن بر ما پوشیده باشد. به این ترتیب جملات امری،پرسشی و عاطفی نمی‌توانند به عنوان یک گزاره تلقی بشوند و بعلاوه همه جملات خبری هم نمی‌توانند گزاره باشند.

به عنوان مثال جمله«37 عددی اول است» یا «2>3» همگی جملات خبری هستند و یک گزاره‌اند ولی جمله‌ خبری «سعدی شاعر خوبی است.» نمی‌تواند یک گزاره تلقی شود چرا که درستی یا نادرستی آن دقیقاً معین نمی‌باشد(بر حسب سلیقه تغییر می‌کند). همچنین جملات عاطفی و امری و پرسشی همچون «چه گل زیبایی!» یا «لطفا درب را باز کنید» و یا «آیا 155 بر پنج بخشپذیر است؟» نمی‌توانند یک گزاره باشند چرا که نمی‌توان بر روی آنها ارزش درستی یا نادرستی قرار داد و اساساً ارزش گذاری آنها بی‌معنی خواهد بود.

یکی از ریاضیدانان قرن سیزدهم میلادی در اروپا لئونارد بوناکسی( 1170-1220 م. ) ریاضیدان ایتالیایی است. وی که مدتها در مشرق زمین اقامت کرده بود، آثار برخی از دانشمندان اسلامی را از آنجا به ارمغان آورد. وی برای اولین بار در اروپا علم جبر را در هندسه مورد استفاده قرار داد. در قرن پانزدهم و در قرن شانزدهم دانشمندان ایتالیایی ها در حساب عدد ، جبر و مکانیک ترقیات شایان کردند.
در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه دانشمندی به نام فرانسوااویت ( 1540-1603م.) به پیشرفت علوم ریاضی خدمات ارزنده ای نمود.مثلثات جدید نیز حاصل زحمات اوست. او نخستین ریاضیدانی بود که برای حل مسئله ترسیم دایره ای مماس بر سه دایره دیگر راه حل هندسی بدست آورد و ریشه های معادله درجه چهارم را ساخت.

 

مقدمه

مطالعه توصیفی داده مشتمل بر تعریف آمار توصیفی است. آمار توصیفی یعنی خلاصه کردن و توضیح خصوصیات مهم مجموعه داده‌ها. این مبحث مشتمل است بر فشرده کردن داده‌ها در قالب جداول ، نمایش آنها بوسیله نمودار و محاسبه شاخصهای عددی گرایش به مرکز و تفرق. این روشها انعطاف پذیرند و آنها را هم می‌توان در مواردی بکار برد که مجموعه داده‌ها بوسیله نمونه‌گیری بخش کوچکی از جامعه بدست می‌آید و هم در مواردی که مجموعه داده‌ها تقریبا تمام جامعه را شامل است مثلا در سرشماریها. 

 

ریشه لغوی استنتاج

واژه عربی "استنتاج" به معنی طلب نتیجه کردن، یا نتیجه خواستن است که در زبان فارسی "نتیجه گیری" را معادل با آن به کار می‌برند. اگر "پیامد" را به معنی نتیجه بپذیریم، می‌توانیم استنتاج را "پیامدیابی" بنامیم. واژه فارسی "هوده" نیز به معنی نتیجه است و شاید بتوان "هوده‌یابی" یا "هوده گویی" را نیز به جای استنتاج به کار برد. 

تعریف استنتاج منطقی

استنتاج منطقی ، که آن را قیاس می‌نامند، بدان معنی است که از یک یا چند گزاره مفروض با ارزشهای معین، گزاره دیگر را نتیجه بگیریم، یا اینکه ارزش این گزاره را معلوم کنیم. بنا به نوشته ابن‌سینا که از ارسطو نقل شده است: "قیاس سخنی بود که در آن سخنانی گفته شود که چون این سخنان پذیرفته آید از آنجا بالضروره گفته دیگر لازم آید." 

هر نوع بيان واقعيت، يكسره درست يا نادرست نيست. حقيقت آنها چيزي بين درستي كامل و نادرستي كامل است. چيزي بين يك و صفر، يعني مفهومي چند ارزشي و يا خاكستري. حال فازي چيزي بين سياه و سفيد، يعني خاكستري است. «بارت كاسكو» (غفاري و همكاران، 1380). منطق فازي[1] در برابر منطق «باينري» يا «ارسطويي» كه همه چيز را فقط به دو شكل سياه و سفيد، بلي و خير و صفر و يك مي‌بيند، قرار دارد. اين منطق در بازه بين صفر و يك قرار داشته و با دوري از مطلق‌گويي (فقط صفر يا يك) از مقدار تعلق عضوي به مجموعه بحث مي‌كند. مثلا يك فرد 40ساله، 15درصد به مجموعه جوان، 70درصد به مجموعه ميانسالان و 25درصد به مجموعه پيران تعلق دارد. اين منطق مطلقا نمي‌گويد كه مثلا فرد موردنظر ميانسال است (مجموع تعلق‌ها الزاما برابر يك نيست).
منطق فازي در 1965 براي اولين بار در مقاله‌اي به همين نام، توسط پروفسور «لطفي عسگرزاده» ارائه شد و در حال حاضر كاربردهاي فراواني دارد و در حيطه مديريت نيز جاي خاصي را به خود اختصاص داده است. اين منطق براي سنجش مسائل و الگوهاي كيفي، كاربرد فراوان دارد و پاسخگوي مسائل زيادي در رشته‌هاي علوم انساني بويژه مديريت است.
منطق فازي راهكاري است كه به وسيله آن مي‌توان سيستم‌هايي پيچيده را كه مدلسازي آنها با استفاده از رياضيات و روش‌هاي مدلسازي كلاسيك غيرممكن بوده و يا بسيار مشكل است، به آساني و با انعطاف بسيار بيشتر، مدلسازي كرد.
در اين مقاله، سعي شده است تا شمايي از منطق فازي، به زباني ساده، ارائه شود. همچنين، مختصري به بنيانگذار اين منطق اشاره شده و در مورد كاربردها، متغيرهاي زباني، قوانين «اگر-آنگاه»، چگونگي به كارگيري و در نهايت تفاوت آن با نظريه احتمالات، بحث شده است.
از آن زمان كه انسان انديشيدن را آغاز كرد، همواره كلمات و عباراتي را بر زبان جاري ساخته كه مرزهايي روشن نداشته‌اند. كلماتي نظير: خوب، بد، جوان، پير، قوي، ضعيف، گرم، سرد، باهوش، زيبا و قيودي نظير: معمولاً، غالباً، تقريباً و به ندرت. روشن است كه نمي‌توان براي اين كلمات رمزي مشخص يافت.
اين باور به سياه و سفيدها، صفر و يك‌ها و نظام دو ارزشي گذشته بازمي‌گردد و حداقل به يونان قديم و ارسطو مي‌رسد. البته قبل از ارسطو نوعي ذهنيت فلسفي وجود داشت كه به ايمان «دودويي» با شك و ترديد مي‌نگريست.
منطق ارسطو، اساس رياضيات كلاسيك را تشكيل مي‌دهد. براساس اصول و مباني اين منطق، همه چيز تنها مشمول يك قاعده ثابت مي‌شود كه براساس آن، هر چيز يا درست است يا نادرست. منطق ارسطويي دقت را فداي سهولت مي‌كند. نتايج منطق ارسطويي، «دوارزشي» و «درست يا نادرست»، «سياه يا سفيد» و «صفر يا يك» مي‌تواند مطالب رياضي و پردازش رايانه‌اي را ساده كند (همان منبع).
منطق فازي، جهان‌بيني جديدي است كه به رغم ريشه داشتن در فرهنگ مشرق زمين، با نيازهاي دنياي پيچيده كنوني بسيار سازگارتر از منطق ارسطويي است. منطق فازي، جهان را آن‌طور كه هست به تصوير مي‌كشد. دنيايي كه ما در آن زندگي مي‌كنيم، دنياي مبهمات و عدم قطعيت است. مغز انسان عادت كرده است كه در چنين محيطي فكر كند و تصميم بگيرد و اين قابليت مغز كه مي‌تواند با استفاده از داده‌هاي ناصحيح و كيفي به يادگيري و نتيجه‌گيري بپردازد، در مقابل منطق ارسطويي كه لازمه آن داده‌هاي دقيق و كمي است، قابل تامل است (همان منبع).

بنيانگذار منطق فازي
پروفسور لطفي‌زاده، كه در جهان علم به پروفسور زاده مشهور است، در 1921 در شهر باكوي جمهوري آذربايجان به دنيا آمد. مادرش پزشك روس و پدرش روزنامه‌نگاري ايراني بود كه در آن زمان به دلايل شغلي در باكو به سر مي‌برد. او در 10سالگي همزمان با حكومت ديكتاتوري استالين در اتحاد جماهير شوروي سابق، همراه با خانواده مجبور به مراجعت به ايران شد. لطفي‌زاده در كالج البرز تهران (دبيرستان كنوني البرز) تحصيلات متوسطه را به پايان رساند و در امتحانات كنكور سراسري، مقام دوم را كسب كرد. او در 1942 رشته برق و الكترونيك دانشگاه تهران را با موفقيت به پايان رساند و طي جنگ جهاني دوم براي ادامه تحصيلات به امريكا رفت و دوره فوق‌ليسانس مهندسي برق را در انستيتو تكنولوژي ماساچوست MIT طي كرد. پس از آن، دانشگاه كلمبيا در نيويورك را انتخاب كرد و سرانجام در 1949 موفق به دريافت درجه دكتراي خود از اين دانشگاه شد.
وي تئوري و منطق فازي را پايه‌گذاري كرده و در زمينه كاربردهاي آن در هوش مصنوعي، زبان‌شناسي، منطق، تئوري تصميمات، تئوري كنترل، سيستم‌هاي خبره و شبكه‌هاي اعصاب، به تحقيقات گسترده‌اي پرداخت. در حال حاضر، حاصل تحقيقات پروفسور لطفي‌زاده در زمينه منطق فازي در بخش‌هاي گوناگون طراحي نرم‌افزار و سخت‌افزار و محاسبات كامپيوتري بر مبناي كلمات، تئوري شعور كامپيوتر در درك زبان طبيعي و صنايع سبك و سنگين مورداستفاده است.
پروفسور لطفي‌زاده به عنوان كاشف و مبتكر منطق فازي طي يك مقاله علمي كلاسيك كه در 1965 به چاپ رسيد، شهرت جهاني يافت. وي به‌طور رسمي از 1991 بازنشسته شده و مقيم سانفرانسيسكو است. پروفسور لطفي‌زاده داراي 23 درجه دكتراي افتخاري از دانشگاه‌هاي معتبر جهان است، بيش از 200مقاله علمي را به تنهايي به نگارش درآورده و در حال حاضر عضو هيئت تحريريه بيش از 50 مجله علمي دنياست (همان منبع).

فازي و منطق فازي
واژه «فازي» در فرهنگ لغت آكسفورد، به معناي «مبهم، گنگ، نادقيق، گيج، مغشوش، درهم و نامشخص» آمده است. معاني ديگري مثل كركي، درهم و برهم، پرزدار، تيره و نامعلوم نيز از جمله معاني ديگر واژه فازي است.
در مجموع، واژه فازي به «مفاهيم فاقد مرز دقيق» اشاره دارد (Charleson, 1998). لطفي‌زاده در پاسخ به اين سوال كه چرا كلمه فازي را براي اين نظريه انتخاب كرده است، مي‌گويد: «من كلمه فازي را انتخاب كردم چون احساس مي‌كردم كه اين كلمه با بيشترين دقت آنچه را در اين نظريه آمده است، توصيف مي‌كند (قيومي، 1381).
فازي بودن به معناي چندارزشي بودن است و در مقابل منطق دو ارزشي كه در آن براي هر سوال و يا مفهومي تنها دو پاسخ و يا حالت (درست يا نادرست سياه يا سفيد) مي‌تواند وجود داشته باشد، قرار مي‌گيرد. در واقع منطق ارسطويي را مي‌توان حالت خاصي از تفكر فازي به حساب آورد (Burrough& et al,1992).
منطق فازي معتقد است كه ابهام در ماهيت علم وجود دارد. برخلاف ديگران كه معتقدند كه بايد تقريب‌ها را دقيق‌تر كرد تا بهره‌وري افزايش يابد، لطفي‌زاده معتقد است كه بايد به دنبال ساختن مدل‌هايي بود كه ابهام را به عنوان بخشي از سيستم، مدل كند.
منطق فازي، تكنولوژي جديدي است كه شيوه‌هاي مرسوم براي طراحي و مدل‌سازي يك سيستم را كه نيازمند رياضيات پيشرفته و نسبتاً پيچيده است، با استفاده از مقادير و شرايط زباني و يا به بياني ديگر دانش فرد خبره و با هدف ساده‌سازي و كارامدتر شدن طراحي سيستم جايگزين و يا تا حدود زيادي تكميل مي‌كند.
اين نظريه، قادر است بسياري از مفاهيم، متغيرها و سيستم‌هايي را كه نادقيق و مبهم هستند (همان‌طور كه در عالم واقع نيز اكثراً چنين است) صورتبندي رياضي كرده و زمينه را براي استدلال، استنتاج، كنترل و تصميم‌گيري در شرايط عدم اطمينان ، فراهم آورد. (طاهري، 1378).
در سيستم‏هاي داراي عدم قطعيت زياد و پيچيدگي‌هاي بالا، منطق فازي روشي مناسب براي مدلسازي به شمار مي‌رود.
در سيستم فازي، عدم قطعيت پديده‌ها دو نوع هستند:
1. عدم قطعيت ناشي از ضعف دانش و ابزار بشري در شناخت پيچيدگي‌هاي يك پديده.
2. عدم قطعيت مربوط به عدم صراحت و عدم شفافيت مربوط به پديده يا ويژگي خاص.
يعني، پديده ممكن است ذاتاً غير صريح و وابسته به قضاوت افراد باشد (كوره‌پزان، 2، 1384) مثلاً نمره رضايت شغلي بالا براي كارمندي، ممكن است 80 از 100باشد و براي ديگري 95.

منطق‌هاي رياضي
منطق كلاسيك (دودويي، باينري): منطقي است كه در آن، گزاره‌ها فقط ارزش راست يا دروغ دارند كه آن را منطق 0 و 1 مي‌نامند.
منطق چندمقداره: منطقي كه علاوه‌بر 0 و 1 چند مقدار ديگر را نيز اختيار مي‌كند.
منطق بينهايت مقداره: در اين منطق، ارزش گزاره‌ها مي‌تواند هر عدد حقيقي بين 0 تا 1 باشد.
منطق فازي: نوعي از منطق بي‌نهايت مقداره و در واقع ابتكاري براي بيان رفتار مطلوب سيستم‌ها با استفاده از زبان روزمره. در واقع، منطق فازي منطقي پيوسته است كه از استدلال تقريبي بشر الگوبرداري كرده است.

ويژگي‌هاي منطق فازي
الف- در منطق فازي، استدلال‌هاي دقيق به عنوان مواردي مرزي استدلال‌هاي تقريبي تلقي مي‌شوند.
ب- در منطق فازي، هر چيزي درجه‌پذير است.
پ- هر سيستم منطقي مي‌تواند فازي شود.
ت- در منطق فازي، دانش به عنوان مجموعه‌اي از محدوديت‌هاي تغييرپذير و يا به طور معادل فازي كه بر روي مجموعه‌اي از متغيرها اعمال مي‌شود، تعبير مي‌گردد.
ث- استنتاج، به عنوان فرايند گسترش محدوديت‌هاي تغييرپذير درنظر گرفته مي‌شود (قيومي، 1381).

كاربردها
در 1974، ابراهيم ممداني از دانشگاه لندن، براي نخستين بار از منطق فازي در زمينه كنترل يك موتور بخار ساده استفاده كرد. اولين كاربرد صنعتي منطق فازي، 6 سال بعد صورت گرفت. در 1980 «اسميت» از دانمارك براي نخستين بار از منطق فازي براي كنترل كوره سيمان استفاده كرد. در دهه 1980 موسسه «فوجي الكتريك» منطق فازي را براي كنترل فرايند تصفيه آب به‌كار گرفت. متعاقب آن، شركت «هيتاچي» يك سيستم كنترل خودكار قطار را بر مبناي منطق فازي توسعه داد. گفتني است كه در اوايل دهه 1990 موسسات گفته شده ژاپني‌ در زمينه كاربرد منطق فازي، پيشتاز بوده‌اند.
فازي در كارخانه‌هاي بزرگ نظير ذوب آهن، صنايع خودروسازي، شيشه‌سازي، تصفيه آب، واحدهاي توليد انرژي و در واحدهاي توليدي كوچك نظير كارخانه‌هاي ساخت ماشين لباسشويي و وسائل الكترونيكي مانند ويدئو و ... كاربردهاي گوناگوني پيدا كرده است. (طاهري، 50، 1378).
كاربرد منطق فازي در صنايع خودروسازي مربوط به تنظيم و كنترل ترمزهاي ABS، سيستم ترمز ضدلغزش و گيربكس اتوماتيك براي خودروها (در كارخانه نيسان)، گيربكس اتوماتيك براي خودروها (در شركت سوبارو)، تشخيص عيب در فرايند توليد، محاوره بين ماشين و انسان، كنترل كيفيت و... بوده است.

متغير زباني و قواعد اگر- آنگاه فازي
يكي از ويژگي‌هاي منطق فازي در استفاده از ساختار قانون پايه منطقه فازي است كه طي آن، مسائل كنترلي به يك سري قوانين IF x And y THEN z تبديل مي‌شوند كه پاسخگوي خروجي مطلوب سيستم براي شرايط ورودي داده شده به سيستم است. اين قوانين ساده و آشكار براي توصيف پاسخ‌دهي مطلوب سيستم با اصطلاحاتي از متغيرهاي زبان شناختي به جاي فرمول‌هاي رياضي استفاده مي‌شود.
نكته جالب اينجاست كه گرچه سيستم‌هاي فازي پديده‌هاي غيرقطعي و نامشخص را توصيف مي‌كنند، اما تئوري فازي، تئوري دقيقي است.
متغير زباني، متغيري است كه مقاديرش كلمات يا جملات يك زبان طبيعي و يا مصنوعي باشد. مثلاً، سن يك فرد را درنظر بگيريد، اگر مقاديري را كه سن اختيار مي‌كند با كلماتي نظير: نونهال، نوجوان، جوان، مسن و پير نشان دهيم، متغير سن، متغيري زباني است (آذر و فرجي، 1386، 198).

مثال: سرعت ماشين، متغير x است كه مقاديري را در محدوده [0,Vmax] مي‌پذيرد. اكنون ما سه مجموعه فازي «كند»، «متوسط»، «تند» را مطابق شكل زير در محدوده [0,Vmax] تعريف مي‌كنيم. اگر ما x را يك متغير زباني ببينيم، آنگاه x مي‌تواند «كند» و «متوسط» و «تند» را به عنوان مقدار بپذيرد (شكل1).

شكل1: سرعت ماشين به عنوان يك متغير زباني

يك متغير زباني توسط پنج‌تايي (X,T(x),U,G,M) مشخص مي‌شود كه در آن:

· X نام متغير زباني است.
· T(x) مجموعه مقادير زباني است كه X اختيار مي‌كند.
· U‌ دامنه فيزيكي واقعي است كه در آن، متغير زباني X مقادير كمي خود را اختيار مي‌كند (مجموعه مرجع).
· G گرامري كه بر طبق آن، مقادير مختلف متغير زباني توليد مي‌شود
· M قاعده‌اي لغوي كه هر مقدار زباني در T را به يك مجموعه فازي در U مرتبط مي‌سازد (تابع عضويت) (George and Yuan,2003)
بنابراين، با معرفي متغيرهاي زباني، ما قادر خواهيم بود توصيف‌هاي مبهم و نامعلوم در زبان‌هاي طبيعي را در گزاره‌هاي رياضي فرموله كنيم. اين اولين گام براي مشاركت سيستماتيك و موثر دانش بشري در سيستم‌هاي مهندسي است.

منطق فازي چگونه به كار گرفته مي‌شود؟
منطق فازي را مي‌توان از طريق قوانيني به كارگرفت كه «عملگرهاي فازي» ناميده مي‌شوند. اين قوانين معمولاً براساس مدل زير تعريف مي‌شوند:
IF variable IS set THEN action
مثلا، فرض كنيد مي‌خواهيم توصيفي فازي از دماي يك اتاق ارائه دهيم. در اين صورت مي‌توانيم چند مجموعه فازي تعريف كنيم كه از الگوي تابع u(x) تبعيت كند. شكل 2، نموداري از نگاشت متغير>دماي هواسردخنكعاديگرمداغ< است. ملاحظه مي‌كنيد كه دمايي معين ممكن است متعلق به يك يا دو مجموعه باشد (نوعي‌پور، 1382).

اكنون مي‌توان براساس مدل فوق، قانون فازي زير را تعريف كرد:
اگر دماي اتاق «خيلي گرم» است، سرعت پنكه را «خيلي زياد» كن.
اگر دماي اتاق «گرم» است، سرعت پنكه را «زياد» كن.
اگر دماي اتاق «معتدل» است، سرعت پنكه را در «همين اندازه» نگه دار.
اگر دماي اتاق «خنك» است، سرعت پنكه را «كم» كن.
اگر دما «سرد» است، پنكه را «خاموش» كن.
اگر اين قانون فازي را در يك سيستم كنترل دما اعمال كنيم، آنگاه مي‌توانيم دماسنجي بسازيم كه دماي اتاق را به صورت خودكار و بر طبق قانون ما، كنترل كند (نوعي‌پور، 1382).

شكل2

 

به عنوان نمونه، دماهاي بين دماي T1 و T2، هم به مجموعه «سرد» و هم به مجموعه «خنك» تعلق دارند، اما درجه عضويت دمايي معين در اين فاصله، در هر يك از دو مجموعه متفاوت است. به طوري كه دماي نزديك T2 تنها به اندازه چندصدم عضو مجموعه «سرد» و نزديك به 90درصد عضو مجموعه «خنك» است. (نوعي‌پور، 1382)

دو نوع توجيح براي سيستم‌هاي فازي وجود دارد:
دنياي واقعي ما بسيار پيچيده‌تر از آن است كه بتوان توصيفي دقيق براي آن پيدا كرد. بنابراين، بايد توصيفي تقريبي يا همان فازي كه قابل تجزيه و تحليل باشد، براي يك مدل معرفي شود.با حركت ما به سوي عصر اطلاعات، دانش و معرفت بشري بسيار اهميت پيدا كرده است. بنابراين، ما به فرضيه‌اي نياز داريم كه بتواند دانش بشري را به شكلي سيستماتيك فرموله كرده و آن را به همراه ديگر مدل‌هاي رياضي، در سيستم‌هاي مهندسي قرار دهد.

انتقادات به نظريه فازي
همراه با گسترش اين نظريه، انتقاداتي بر آن وارد شد كه عمده‌ترين آنها را مي‌توان در سه گروه، تقسيم‌بندي كرد:
منتقدين سوال مي‌كردند كه كاربرد منطق جديد (منطق فازي) چيست؟ شما چه چيزي با مجموعه فازي مي‌توانيد انجام دهيد؟
منتقدين فعال در مراكز علمي و پژوهشي احتمالات فازي را همان «احتمال» اما با لباس مبدل مي‌دانستند. آنها احساس مي‌كردند كه لطفي‌زاده چيزي جديد ارائه نكرده و واقعاً كاري خاص انجام نداده است.
قهر آشكار منطق دو ارزشي با منطق فازي از همه مهم‌تر بود. منتقدان مي‌گويند منطق دو ارزشي، كارايي دارد و هزاران سال است كه به ما خدمت كرده و رايانه‌ها را به كار مي‌اندازد. ممكن است مقداري هزينه داشته باشد، اما ساده است و كار مي‌كند (آذر و فرجي،1386، 13).

تفاوت ميان نظريه احتمالات و منطق فازي
يكي از مباحث مهم در منطق فازي، تميزدادن آن از نظريه احتمالات در علم رياضيات است. غالباً نظريه فازي با نظريه احتمالات اشتباه مي‌شود. در حالي كه اين دو مفهوم كاملاً با يكديگر متفاوتند (نوعي‌پور، 1382).
منطق فازي با حقايق نادقيق سروكار داشته و به حدود و درجات يك واقعيت اشاره دارد، حال آنكه نظريه احتمالات بر شالوده مجموعه حالات تصادفي يك پديده استوار است و درباره شانس وقوع حالتي خاص صحبت مي‌كند؛ حالتي كه وقتي اتفاق بيفتد، دقيق فرض مي‌شود. براي روشن شدن موضوع، به اين مثال توجه كنيد. فرض كنيد كه در خياباني رانندگي مي‌كنيد. اتفاقا متوجه مي‌شويد كه كودكي در خودرويي ديگر كه به موازات شما در حال حركت است، نشسته و سر و يك دست خود را از پنجره بيرون آورده و در حال بازيگوشي است. اين وضعيت، واقعي است و نمي‌توان گفت احتمال اينكه بدن اين كودك بيرون از خودرو باشد، چقدر است (همان منبع) زيرا بدن او واقعاً بيرون از خودرو است، با اين توضيح كه بدن او كاملاً بيرون نيست بلكه فقط بخشي از بدن او در خارج خودرو قرار گرفته است. در اينجا تئوري احتمالات كاربردي ندارد، چون ما نمي‌توانيم از احتمال خارج بودن بدن كودك از ماشين صحبت كنيم؛ زيرا آشكارا فرضي غلط است، اما مي‌توانيم از احتمال وقوع حادثه صحبت كنيم. مثلا هر چه بدن كودك بيشتر بيرون باشد، احتمال اينكه بر اثر برخورد با بدنه خودرويي ديگر دچار آسيب شود، بيشتر مي‌شود. اين حادثه هنوز اتفاق نيفتاده، اما مي‌توانيم از احتمال وقوع آن صحبت كنيم. بيرون بودن تن كودك از ماشين همين حالا به واقعيت تبديل شده و فقط مي‌توانيم از ميزان و درجات آن صحبت كنيم (نوعي‌پور، 1382).
فازي بودن و احتمالات، اغلب با هم تركيب مي‌شوند. يك جمله، در صورتي احتمالي است كه احتمال يا درجه تحقق را نشان دهد و يا نتيجه يك واقعه اتفاقي را بيان كند. مثلاً، جمله «شانس اينكه آنجا باشم 50-50 است» جمله‌اي كاملا احتمالي است. جملات احتمالي، خود درجه‌اي از مفهوم فازي بودن را نشان مي‌دهند. در جمله «به احتمال زياد آنجا خواهم بود» تمامي احتمالات به صورت ذهني سنجيده شده و درجه‌اي از احتمال تا تحقق را بيان مي‌كنند. در صورتي‌كه جمله «ممكن است آنجا باشم» كاملا نامعلوم و غيرقابل پيش‌بيني است و در واقع فازي بودن آن حالت را بيان مي‌كند (كارتالوپولس، 7، 1381).

نتيجه‌گيري
منطق فازي، روشي متفاوت را براي مسائلي فراهم مي‌آورد كه نياز به كنترل دارند. اين روش بر آنچه كه سيستم بايد انجام دهد متمركز است، نه بر چگونگي انجام كارها (Hellmann, 2005).
به‌كارگيري منطق فازي، ساده بوده و قادر است مسائل پيچيده‌اي را كه با روش‌هاي معمولي رياضي حل نمي‌شوند، به سادگي و در زماني كمتر حل كنند. اين منطق، همانند دانش فرد خبره، عمل مي‌كند.
نظريه مجموعه‌هاي فازي براي اقدام در شرايط عدم اطمينان طراحي شده و اين كار را با استفاده از متغيرهاي زباني و عادي روزمره انجام مي‌دهد كه مي‌توان با كمك آنها مسائل و متغيرهاي كيفي را كمي كرده و مورد ارزيابي قرار داد. بنابراين، منطق فازي منطقي مناسب براي علم مديريت است كه در بيشتر مواقع با متغيرهاي كيفي سروكار دارند.
به كمك منطق فازي، از كل گويي و مطلق‌گويي دور شده و مسائل را بيشتر به سمت جواب صحيح‌تر سوق مي‌دهيم. منطق فازي در عصر كنوني كه با تغييرات سريع همراه با پيچيدگي‌هاي بغرنج توأم شده است، مي‌تواند پاسخي مناسب باشد.

يكي از بزرگترين رياضيدانهاي فرانسوي كه در همه ي رشته ي رياضيات محض وكاربردي اكتشافاتي دارد

ولي خدمت بزرگ وي اينست كه اناليز رياضي را بر مباني محكم واستوار ساخت .از 1816 استاد پوليتكنيك پاريس ,د انشگاه پاريس , كولژ دو فرانس بود تا انكه در انقلاب 1830 به سبب اينكه حاضر نشد نسبت به لويي فليپ سوگند وفاداري ياد كند اين مشاغل را از دست داد ودر سال1830-1838 در تورن ايتاليا استاد فيزيك رياضي گرديد .در 1838 به فرانسه برگشت و كرسي سابق خود را در پوليتكنيك باز يافت .

كوشي رياضيات را مخصوصا اناليز را نسبت به  قرن گذشته سخت دگرگون كرد .رياضيدانان پيشين

حساب ديفرانسيل و انتگرال را بسط فراوان داده بودند و انها را در حل مسايل متنوع بكار بسته بودند ولي –پيش از طلوع كوشي- مفاهيم اساسي اين مبحث به دقت تقرير نشده بود .كوشي با روشهاي روشن ودقيق خود كه انها را در سه كتاب معروفش –دوره ي اناليز مدرسه ي پوليتكنيك(1821), حساب بينهايتيك(1823), ودروس موارد استعمال حساب بينهايتيك در هندسه (1826-1828)-بكار بسته است , اناليز رياضي را منقلب ساخت , مباني اين علم را , به وسيله ي حد واتصال (پيوستگي) تنقيح كرد, ونخستين كسي بود قضيه ي تيلر را دقيقا اثبات كرد